Lesson 04 — Biến ngẫu nhiên liên tục
4 component tương tác: PDF/CDF, xác suất khoảng, đổi biến, sampling histogram.
1. PDF và CDF — hai cách nhìn cùng một phân phối
Chọn loại phân phối, điều chỉnh tham số bằng slider. Đồ thị trái vẽ
PDF f(x) (vùng tô = xác suất),
đồ thị phải vẽ CDF F(x) tăng từ 0 → 1.
Quan hệ:
F'(x) = f(x).
Quan sát: với Uniform, PDF là một hộp ngang, CDF là đường dốc thẳng. Với Exp,
PDF giảm theo cấp số nhân từ λ, CDF tăng từ 0 → 1 không bao giờ chạm đỉnh.
2. Xác suất trên khoảng — kéo thanh a, b
Kéo 2 thanh dọc a và
b trên đồ thị PDF. Vùng giữa được tô —
diện tích vùng đó =
P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a).
P(a ≤ X ≤ b):
—
F(b) − F(a):
—
Trapezoidal ∫:
—
Hai giá trị giữa (CDF chính xác) và phải (xấp xỉ Riemann/trapezoidal trên 200 ô) phải
gần bằng nhau — đó là định lý cơ bản của giải tích (FTC) hoạt động.
3. Đổi biến Y = g(X) — co/dãn mật độ
Bắt đầu với
X ~ Uniform(0, 1) hoặc Exp(1) (PDF bên trái), chọn hàm
g, đồ thị bên phải vẽ Y = g(X) với PDF mới. Yếu tố
Jacobian |dg⁻¹/dy| là nguyên nhân hình thù bị biến đổi.
Quan sát Y = X² với X~U(0,1): PDF của Y dồn về 0 (vô cực tại y=0), vì hàm bình phương
"ép" các giá trị nhỏ của X xuống còn nhỏ hơn nữa.
4. Sampling — histogram thực nghiệm vs PDF lý thuyết
Bấm "Gen samples" để sample từ phân phối qua Inverse-CDF. Histogram
(cột xanh) hội tụ về PDF lý thuyết (đường đỏ) khi N tăng. Đây là cơ sở của
mọi generative model.