Lesson 03 — Biến ngẫu nhiên rời rạc

4 component tương tác: PMF Bernoulli/Binomial, PMF Poisson + so sánh, sample generator, CDF bậc thang.

1. Bernoulli / Binomial PMF

Bin(n, p) là tổng n Bernoulli độc lập. Khi n = 1 → trùng Bernoulli. Trục x là số thành công k, trục y là P(X = k). Đường đứt đỏ là kỳ vọng E[X] = n·p.
10 0.50
Phân phối
Bin(10, 0.50)
E[X] = n·p
5.00
Var(X) = n·p·(1-p)
2.50
Std(X)
1.58
Mode
5
P(X = mode)
0.2461
Thử: kéo n = 1 → biểu đồ chỉ có 2 cọc 0 và 1 (Bernoulli). Tăng p → "khối" PMF dịch sang phải.

2. Poisson PMF — và so sánh với Binomial khi n→∞

Poi(λ) mô hình sự kiện hiếm trong khoảng cố định. Khi n lớn, p nhỏ, n·p = λ → Bin(n, λ/n) ≈ Poi(λ). Bật toggle "So sánh với Bin" để xem Binomial xếp chồng cùng λ.
3.0 20
Poisson(λ)
Bin(n, λ/n)
Phân phối
Poi(3.0)
E[X] = λ
3.00
Var(X) = λ
3.00
Bin p = λ/n
0.150
Sai lệch max |Bin - Poi|
—
Thử: tăng n từ 20 lên 200 → các cọc Bin "ép sát" với Poi. Hạ n xuống < 10 và λ lớn → khác hẳn (xấp xỉ tệ).

3. Sample generator — rút mẫu thật và so PMF lý thuyết

Chọn phân phối, đặt tham số, rút N mẫu rồi xem histogram (xanh lá) so với PMF lý thuyết (cọc đỏ trong suốt). Khi N nhỏ histogram lệch ngẫu nhiên; N lớn → áp sát PMF (đây là Law of Large Numbers — sẽ học Lesson 06).
Bernoulli Binomial Geometric Poisson
500
Tần suất mẫu
PMF lý thuyết
N hiện tại
0
Trung bình mẫu
—
Phương sai mẫu
—
E lý thuyết
—
Var lý thuyết
—
Thử: N = 50 vài lần → histogram khác nhau mỗi lần. N = 10000 → ổn định, sát PMF.

4. CDF visualizer — bậc thang và truy vấn F(x)

CDF F(x) = P(X ≤ x) — hàm bậc thang. Chọn phân phối, kéo thanh truy vấn để xem F(x) tại x bất kỳ. Mỗi bước nhảy có chiều cao bằng PMF p(x) tại điểm đó.
Binomial(10, 0.5) Poisson(4) Geometric(0.3)
5.0
F(5.0) = ...
kp(k)F(k)

Ghi chú

Mọi tham số đều thay đổi được realtime. Khi đọc lý thuyết trong README, đối chiếu lại trên các component này để thấy cụ thể bằng số.

⚠ Khi λ hoặc np quá lớn, một số phép tính dùng log-space để tránh tràn số — chi tiết trong code.