Epicycle & Fourier phức — vẽ mọi hình bằng vòng tròn quay

Mỗi số hạng c_n·e^(inω₀t) của chuỗi Fourier phức là một vector quay (phasor): bán kính |c_n|, pha đầu arg(c_n), tốc độ quay n. Nối đuôi chúng lại — đầu mút cây bút vẽ ra hình. Kéo slider N để thêm vòng và xem hình sắc nét dần.

1. Cỗ máy vẽ epicycle

Hình:

Số vòng tròn N: 0

Tốc độ: 1.0×

vòng tròn quay đầu mút (cây bút) vệt hình

Số vòng đang vẽ

—

t (chu kỳ)

—

Vòng to nhất |c_n|

—

Sai số ≈

—

Vòng to ở ngoài (tần số thấp) dựng khung hình; vòng tí xíu ở trong (tần số cao) thêm chi tiết. Giảm N → các góc bị bo tròn, hình mờ. Tăng N → hình bám sát. Đây chính là ý nghĩa của phổ |c_n| ở module 3: cột cao = vòng to = đóng góp nhiều.

Tổng đầu mút: P(t) = Σ c_n·e^(inω₀t) với ω₀ = 2π (chu kỳ T = 1). Hệ số c_n lấy bằng DFT của hình mục tiêu.

2. Một phasor đơn — Euler e^(iθ) = cosθ + i·sinθ

Một vector quay bán kính 1. Bóng chiếu lên trục ngang là cosθ, lên trục dọc là sinθ. Một cây kim quay mã hoá đồng thời cả cos lẫn sin.

Góc θ: 0.00 rad

—

cos θ (Re)

—

sin θ (Im)

—

e^(iθ)

—

Tại θ = 0 → e^(iθ) = 1 (bên phải). θ = π/2 → i (đỉnh). θ = π → −1 (trái). θ = 3π/2 → −i (đáy). Đường sin/cos bên dưới là "bóng" của mũi kim trượt theo thời gian — gốc của mọi sóng.

3. Phổ |c_n| — đồng bộ với cỗ máy đang chạy

Cột chiều cao |c_n| theo tần số n. Cột đang được epicycle dùng (≤ N) sáng màu; cột bị cắt bỏ thì mờ. Cắt cột thấp = nén hình mà mắt gần như không thấy khác.

tần số đang dùng (≤ N) tần số bị cắt bỏ · trục ngang: n (gồm cả n âm) · trục dọc: |c_n|

Mở 📖 README để xem lý thuyết đầy đủ: công thức Euler, chuỗi Fourier phức, vì sao có tần số âm, quan hệ c_n ↔ a_n,b_n, và 6 bài tập có lời giải.