Lesson 03 — Integration: Euler & Verlet
Ba bộ tích phân số chạy cùng lúc trên cùng một bài toán. Xem explicit Euler xoắn phình ra, còn semi-implicit và Verlet giữ quỹ đạo ổn định. Kéo slider Δt để tự tay làm simulation "nổ", và theo dõi năng lượng từng phương pháp theo thời gian.
1. Ba phương pháp quay quanh tâm (orbit)
Một "vệ tinh" chịu lực hướng tâm a = −ω²·r (như lò xo 2D / hấp dẫn tuyến tính hóa).
Quỹ đạo đúng phải là vòng tròn vàng. Explicit Euler (đỏ) bơm năng lượng nên
xoắn ốc phình ra; semi-implicit (xanh lá) và Verlet (xanh dương) bám sát vòng tròn.
Đang chạy… để ý vòng đỏ ngày càng to.
2. Slider Δt — tự gây "nổ"
Lò xo 1 chiều a = −ω²·x (ω = 4). Ngưỡng ổn định của semi-implicit là
ω·Δt < 2 → Δt < 0.5. Kéo Δt vượt 0.5 và xem semi-implicit
cũng nổ; explicit nổ sớm hơn. Đồ thị là vị trí x theo thời gian.
Đường nét đứt vàng = nghiệm đúng cos(ωt). Khi một phương pháp vọt ra khỏi
khung là nó đã "nổ" (số tiến tới vô cực).
3. Năng lượng theo thời gian + bảng so sánh
Cùng lò xo (ω = 4) chạy với Δt = 0.12. Hệ không ma sát
→ năng lượng E = ½(v² + ω²x²) đáng lẽ phải là đường ngang. Explicit
leo dốc (phình), semi-implicit & Verlet dao động quanh mức đúng (chặn).
| Phương pháp | Bậc chính xác | Năng lượng | Ổn định dài hạn | Chi phí/bước |
|---|---|---|---|---|
| Explicit Euler | 1 | phình ↑ | kém (xoắn ra) | thấp |
| Semi-implicit Euler | 1 | chặn | tốt | thấp |
| Position Verlet | 2 | chặn | tốt | thấp |
| RK4 (tham khảo) | 4 | rò chậm | tốt nhưng đắt | cao (×4) |
E hiện tại — đỏ: … · xanh lá: … · xanh dương: …