Lesson 07 — Hàm mũ và hàm log
5 component tương tác: đua tốc độ tăng, sigmoid/softmax, lãi kép, định nghĩa e, và log scale.
1. Đua tốc độ tăng: a^x vs x^k
Chọn cơ số
a cho hàm mũ và bậc k cho polynomial. Switch giữa
linear scale (thấy rõ chênh lệch tuyệt đối) và log scale
(so sánh tỉ lệ). Tìm giao điểm: từ x nào trở đi exponential vượt mặt?
Exponential a^x
Polynomial x^k
Giao điểm
2. Sigmoid và Softmax playground
Phần trên: kéo x → vẽ điểm trên đường sigmoid. Phần dưới: gõ logit → softmax thành xác suất.
σ(x) = 1 / (1 + e^(-x))
→ σ(x) = 0.5
Softmax 3 lớp
softmax(z_i) = e^(z_i) / Σ e^(z_j)
3. Lãi kép: discrete vs continuous
Discrete:
A = P · (1 + r)^t. Continuous (gộp liên tục): A = P · e^(rt).
Tăng t thấy hai con số tách nhau dần.
4. Định nghĩa e: (1 + 1/n)^n
Kéo
n để thấy biểu thức tiến về e ≈ 2.71828. Hội tụ chậm — phải n rất lớn mới có nhiều chữ số đúng.
(n từ 1 đến 10⁷ theo log scale)
(1 + 1/n)^n
2.5937424601
e thực tế
2.7182818285
Sai số tuyệt đối
0.1245
Số chữ số đúng
1
Đường ngang đỏ: e thực tế. Đường xanh: (1 + 1/n)^n theo n (log scale x-axis).
5. Vì sao đôi khi vẽ ở log scale
Cho 10 số: 10⁰, 10¹, 10², ..., 10⁹. Vẽ ở hai scale song song. Linear: 9 cột đầu lùn tịt.
Log: tất cả đều bậc thang. Đây là vì sao data lệch (skewed) hầu như luôn vẽ log scale.
Hover từng cột để xem giá trị thật.