Lesson 01 — Vector chính thức

Bốn công cụ tương tác để cảm nhận vector: cộng 2D, scalar multiplication, vector 3D, và linear combination.

1. 2D Playground — Cộng hai vector

Kéo u và v (hoặc dùng slider) để thấy ngay u + v được dựng theo quy tắc tam giác (head-to-tail) và hình bình hành.

u (vector xanh) v (vector đỏ) u + v (xanh lá) v dịch (head-to-tail)

Điều chỉnh thủ công

u x: y: (3, 2)

v x: y: (4, -1)

u = (3, 2)

v = (4, -1)

u + v = (7, 1)

Verify: (3 + 4, 2 + -1) = (7, 1)

Đường mảnh xám = bản sao của v đặt tại đầu mút của u (quy tắc tam giác). Hình bình hành (đường đứt nét) cho thấy u + v = v + u — đường chéo duy nhất.

2. Scalar multiplication — c · v

Kéo slider c từ −3 đến 3 để thấy c · v phóng / thu / đảo hướng.

v (gốc) c · v đường mang v (line through O)

Cấu hình

v x: y: (3, 2)

c = 1.5

v = (3, 2)

c · v = (4.5, 3.0)

Verify: (1.5 · 3, 1.5 · 2) = (4.5, 3.0)

📐 c > 1 → phóng to, giữ hướng.

Thử các giá trị đặc biệt: c = 0 → vector 0 (thu về điểm). c = -1 → vector đối −v. c = 1 → giữ nguyên.

3. Vector 3D — Ortho projection

Vector trong ℝ³ chiếu qua 3 trục `x` (đỏ), `y` (xanh lục), `z` (xanh dương). Hộp lưới minh họa vị trí điểm cuối.

x y z vector v

Tọa độ (x, y, z)

x: 3

y: 2

z: 2

Xoay: 35°

v = (3, 2, 2)

Vector 3D: 3 thành phần ⇒ v ∈ ℝ³.

Đường chấm chiếu xuống nền `xy` cho thấy thành phần `z` (chiều cao). Quay trục để nhìn từ góc khác.

4. Linear combination — a · u + b · v

Hai vector u, v (cố định, có thể chỉnh). Kéo slider a, b để thấy a · u + b · v. Khi u, v độc lập, mọi điểm trong mặt phẳng đều đạt được.

u v a·u b·v a·u + b·v

Hai vector cơ sở

u x: y: (2, 1)

v x: y: (-1, 2)

Hệ số scalar

a: 1.5

b: 1.0

a·u = (3.0, 1.5)

b·v = (-1.0, 2.0)

a·u + b·v = (2.0, 3.5)

u, v độc lập → mọi điểm trong ℝ² đạt được.

Thử cho v = 2u (vd u=(2,1), v=(4,2)) — kết quả a·u + b·v chỉ chạy trên một đường thẳng qua O. Đó là phụ thuộc tuyến tính (Lesson 04).