Lesson 01 — Giới hạn (Limits)
Mini-app đi kèm README. 4 phần:
ε-δ explorer cho x², 0/0 simplifier, bảng sin(x)/x, và slider tính số e.
1. ε-δ explorer cho limx→2 x² = 4
Game ε-δ: cho ε, tìm δ
Slider ε (epsilon — dải dung sai cho f(x) = x² quanh L = 4).
App tự tính δ = min(1, ε/5) (như chứng minh ở README mục 2.3) và highlight vùng |x − 2| < δ trên đồ thị.
1.00
(kéo slider để thử các ε)
Dải ε quanh L = 4 (mục tiêu của f)
Dải δ quanh a = 2 (vùng x được phép)
Đồ thị y = x²
Khi ε giảm, δ giảm theo. Đó là ý nghĩa "với mọi ε, tồn tại δ" — bạn thua game nếu có ε nào đó không thể chọn được δ.
2. Bộ rút gọn 0/0
Chọn biểu thức → xem từng bước biến đổi
Chọn 1 biểu thức dạng 0/0 điển hình. App hiển thị các bước phân tích nhân tử hoặc nhân liên hợp, rồi tính giới hạn thực sự khi x → a.
Phân tích nhân tử cho đa thức; nhân liên hợp cho căn. Sau khi rút gọn, thay thẳng x = a vào biểu thức gọn.
3. sin(x)/x gần 0 — tiến tới 1
Bảng giá trị + minh họa đồ thị
Giới hạn đặc biệt số 1: limx→0 (sin x)/x = 1. Bảng dưới cho x = 1, 0.1, 0.01, 0.001 — tỉ số tiến rõ ràng về 1.
Slider để thử x bất kỳ trong khoảng (0, 1].
| x (radian) | sin(x) | sin(x)/x | |sin(x)/x − 1| |
|---|
Đồ thị
y = sin(x)/x (xanh đậm) và đường ngang y = 1 (xanh nhạt). Hai đường gần như trùng khi x gần 0 — nhưng tỉ số không bao giờ vượt 1 (vì cos(x) < sin(x)/x < 1 với x ∈ (0, π/2), theo bất đẳng thức kẹp ở README).
4. e qua giới hạn (1 + 1/n)n
Slider n (log scale) → giá trị tiến tới e ≈ 2.71828
Slider log₁₀(n) từ 0 đến 8 (tức n từ 1 đến 10⁸). Theo dõi (1 + 1/n)^n tiến tới e chậm chạp ra sao.
(1 + 1/n)n =
Chính xác tới chữ số đầu tiên sai vị trí:
| n | (1 + 1/n)n | e − giá trị |
|---|
e = 2.718281828459045... Hội tụ chậm: cần n ≈ 10⁸ để có 6 chữ số đúng. Đây là lý do định nghĩa
e qua chuỗi giai thừa (1 + 1/1! + 1/2! + ...) thực dụng hơn trong tính toán.