Lesson 06 — Đạo hàm riêng & Gradient
Bốn công cụ tương tác để cảm nhận đạo hàm riêng và gradient: contour + 3D, vector gradient tại điểm, trường gradient, và đạo hàm hướng.
1. Surface + Contour — chọn hàm f(x, y)
Contour 2D
Ortho-projection 3D (rotate bằng slider)
Mỗi đường tròn/cong trong panel trái là một đường mức — tập hợp các điểm có cùng giá trị f. Bát: đường tròn đồng tâm. Saddle: hyperbol.
2. Gradient tại một điểm — click vào contour
Click bất kỳ chỗ nào trên panel contour bên dưới. Hệ thống tính ∇f(x, y) tại điểm đó và vẽ mũi tên đỏ chỉ hướng tăng nhanh nhất. So với contour đi qua điểm đó — luôn vuông góc.
Quan sát:
• Mũi tên đỏ luôn vuông góc với contour cam.
• Ở chỗ contour dày đặc (dốc) → mũi tên dài (|∇f| lớn).
• Ở chỗ contour thưa (phẳng) → mũi tên ngắn.
• Ở cực trị (đáy bát, đỉnh chuông) → mũi tên biến mất (∇f = 0).
3. Gradient Field — toàn cảnh "dòng chảy"
Vẽ vector gradient tại lưới điểm rộng. Quan sát các đặc trưng của hàm — đỉnh, đáy, saddle.
Với hàm bát x² + y²: mọi mũi tên chỉ ra ngoài, độ dài tăng dần. Khi bấm "Đảo dấu" sẽ thấy mũi tên chỉ vào tâm — đây chính là quỹ đạo gradient descent (đi NGƯỢC gradient = đi xuống cực tiểu).
4. Directional Derivative — đạo hàm hướng
Tại một điểm cố định, chọn hướng đơn vị û bằng slider góc. Hệ thống tính D_û f = ∇f · û và so sánh với giá trị max |∇f| (khi û cùng hướng gradient).
| Hướng û | Góc θ | D_û f | So với |∇f| |
|---|---|---|---|
| Cùng ∇f | 0° | +4.47 | +100% |
| (1, 0) Đông | — | 2.00 | — |
| Vuông góc ∇f | 90° | 0.00 | 0% |
| Ngược ∇f | 180° | -4.47 | −100% |
Khi slider chạm đúng góc của gradient, D_û f chạm |∇f| → khẳng định "gradient là hướng tăng nhanh nhất". Khi vuông góc → D = 0 (tiếp tuyến đường mức).